文章目录
- 功能
- 反函数
- 重要提示
要深入理解“反函数”的概念，毫无疑问，前提是先理解“函数”的概念。
功能
要知道，英语中“函数”的对应词是function，通常缩写为f，所谓的“函数”其实就是某种规则，在这种规则下，每一个有意义的(允许的)输入都会转化为唯一确定的输出。
一组所有有意义的(允许的)输入值是一个函数的定义域。常规转换后的所有输出值的集合就是函数的值域。
对于函数的定义，需要理解的要点是:
1)函数是特定的处理规则；
2)每个输入经过处理后都能产生唯一的输出；
3)两个不同的输入可以对应于相同的输出。
我们通常用图像来理解函数。有一种方法叫“垂直测试”，可以直观简单的判断一个图像是不是函数。例如，下图不是一个函数。
垂直检查它是否是函数P1。
垂直于x轴的虚线表示对于相同的x值，产生两个完全不同的输出值。
反函数
从命名中也可以看出，反函数并不是一个单独的存在，而是一个相对于“函数”的概念。对于某个函数F，可以用下面的映射来表示:
P2函数映射定义
在上面的例子中，定义集合A的所有三个输入在被函数F变换之后，对应于具有两个元素的值范围集合B。
对于这样的函数关系，可以看作是一种正向转换。如果把集合B的元素作为输入，是否存在函数关系G？G转换后，输出只是一个？也就是说，对于B的每个元素，对a中确定的唯一元素进行反向转换。
从上图来看，这样的转换是可以的，但是P2的函数f反过来转换就会有问题。B中的一个元素，转换成A后，对应两个不同的元素，不符合函数的定义。所以，至少，上面P1的函数f没有逆变换。
什么样的函数可以有反向函数转换？不难知道，只要元素A和B之间的转换满足一一对应。这样我们就可以定义，对于一对一的函数关系F，有一个函数G定义在F的值域B上，以B为输入，输出正好是F的定义域A，这就是反函数的定义。
P3反函数关系
重要提示
关于函数和反函数的定义，重点是:
1)反函数的前提是一一映射；
2)一对F和G是反函数，F的定义域是G的定义域，F的定义域是G的定义域；
3)f(g(x)) = x，g(f(x))=x，经过逆变换回到自身。
4)如果知道其中一个函数图像是互为反函数的，可以简单地变换得到同一个坐标系中的另一个函数图像。你知道怎么做吗？